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Seminar zur Indextheorie - Detailseite

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Grunddaten
Veranstaltungsart Seminar Veranstaltungsnummer 3314518
Semester WiSe 2019/20 SWS 2
Rhythmus Moodle-Link  
Veranstaltungsstatus Freigegeben für Vorlesungsverzeichnis  Freigegeben  Sprache deutsch
Belegungsfrist - Eine Belegung ist online erforderlich Zentrale Frist    01.07.2019 - 09.10.2019   

Termine

Gruppe 1 iCalendar Export iCalendar Export
  Tag Zeit Rhythmus Dauer Raum Raum-
plan
Lehrperson Status Bemerkung fällt aus am Max. Teilnehmer
iCalendar Export Mo. 09:00 bis 11:00 wöch
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Johann von Neumann-Haus - 3.007 Rudower Chaussee 25 (RUD25) - (Unterrichtsraum) Müller findet statt

ACHTUNG: Neue Zeit und neuer Raum!

  50
Gruppe 1:
Zur Zeit keine Belegung möglich


Zugeordnete Person
Zugeordnete Person Zuständigkeit
Müller, Olaf verantwortlich
Studiengänge
Abschluss Studiengang LP Semester
Bachelor of Science  Mathematik Monobachelor ( POVersion: 2009 )   -  
Bachelor of Science  Mathematik Monobachelor ( Vertiefung: kein LA; POVersion: 2014 )   -  
Zuordnung zu Einrichtungen
Einrichtung
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, Institut für Mathematik
Inhalt
Kommentar

Thema des geplanten Seminars ist der Atiyah-Singer-Indexsatz, der als ein Meilenstein der Mathematik des 20. Jahrhunderts gilt und eine Brücke zwischen der Theorie partieller Differentialgleichungen, Geometrie und Topologie ist. Das Seminar beginnt, als Motivation des Folgenden, mit einer Vorstellung des Satzes von Gauß-Bonnet (nach [doCarmo] und [Lee]). Dieser Satz gibt eine Gleichung zwischen einer natürlichen Zahl, die nur von der Topologie einer Fläche abhängt, und einem Integral der Krümmung über die Fläche. Die Faszination dieser viel benutzten Gleichung stammt daher, dass sie jedermöglichen Geometrie auf der Fläche durch ein Integral dieselbe natürliche Zahl zuordnet. Eine Verallgemeinerung des Satzes auf höhere Dimensionen kann leicht aus dem Indexsatz abgeleitet werden. Diesen werden wir zunächst für Diracoperatoren beweisen und folgen dabei [Ebert], einem Zugang, der den besonderen Charme hat, dass er weder Pseudodifferentialoperatoren noch Wärmeleitungsgleichungen benötigt. Auf dem Weg werden wir viel auch in anderem Kontext Nützliches über elliptische Regularität, Fredholmoperatoren und Glättungsoperatoren lernen. Anschließend werden wir je nach Zeitbedarf eine kurze Einführung in K-Theorie und charakteristische Klassen  geben und, der Quelle [Gilkey] folgend, den Satz für beliebige elliptische Operatoren beweisen, sowie auf Grundlage der Originalarbeiten [Atiyah-Patodi-Singer], [Atiyah-Bott-Patodi] den entsprechenden Satz für Mannigfaltigkeiten mit Rand zeigen. Zuguterletzt stellen wir, falls die Zeit es erlaubt, auch eine jüngst erzielte Lorentzsche Version des Theorems [Bär-Strohmaier] vor und diskutieren kurz seine physikalische Interpretation in der Quantenfeldtheorie.

Voraussetzungen des Seminars, das vorrangig für fortgeschrittene Bachelorstudenten, aber auch für Masterstudenten gedacht ist, sind grundlegende Kenntnisse in Topologie, Funktionalanalysis und (in geringerem Maße) Differentialgeometrie. Letztere werden auch in Form eines Skripts zur Verfügung gestellt werden.

Auf Wunsch wird das Seminar ganz oder teilweise als Blockseminar im Februar 2020 angeboten.

Literatur

[Atiyah-Bott-Patodi]: Michael Atiyah, Raoul Bott, Vijay Kumar Patodi: On the Heat Equation and the Index Theorem. Inv.Math. 19, 279-330 (1973)

[Atiyah-Patodi-Singer]: Michael Atiyah, Vijay Kumar Patodi, Israel Singer: Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 77, 43 (1975)

[Bär-Strohmaier]: Christian Bär, Alexander Strohmaier: An index theorem for Lorentzian manifolds with compact spacelike Cauchy boundary. arXiv:1506.00959

[doCarmo]: Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7

[Ebert]: Johannes Ebert: A Lecture Course on the Atiyah-Singer Index Theorem, https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/jeber_02/skripten/mainfile.pdf

[Gilkey]: Peter B. Gilkey: Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem. https://pages.uoregon.edu/gilkey/dirPDF/InvarianceTheory1Ed.pdf

[Lee]: John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8

 

Strukturbaum

Die Veranstaltung wurde 1 mal im Vorlesungsverzeichnis WiSe 2019/20 gefunden:

Humboldt-Universität zu Berlin | Unter den Linden 6 | D-10099 Berlin