| Kommentar |
Thema des geplanten Seminars ist der Atiyah-Singer-Indexsatz, der als ein Meilenstein der Mathematik des 20. Jahrhunderts gilt und eine Brücke zwischen der Theorie partieller Differentialgleichungen, Geometrie und Topologie ist. Das Seminar beginnt, als Motivation des Folgenden, mit einer Vorstellung des Satzes von Gauß-Bonnet (nach [doCarmo] und [Lee]). Dieser Satz gibt eine Gleichung zwischen einer natürlichen Zahl, die nur von der Topologie einer Fläche abhängt, und einem Integral der Krümmung über die Fläche. Die Faszination dieser viel benutzten Gleichung stammt daher, dass sie jedermöglichen Geometrie auf der Fläche durch ein Integral dieselbe natürliche Zahl zuordnet. Eine Verallgemeinerung des Satzes auf höhere Dimensionen kann leicht aus dem Indexsatz abgeleitet werden. Diesen werden wir zunächst für Diracoperatoren beweisen und folgen dabei [Ebert], einem Zugang, der den besonderen Charme hat, dass er weder Pseudodifferentialoperatoren noch Wärmeleitungsgleichungen benötigt. Auf dem Weg werden wir viel auch in anderem Kontext Nützliches über elliptische Regularität, Fredholmoperatoren und Glättungsoperatoren lernen. Anschließend werden wir je nach Zeitbedarf eine kurze Einführung in K-Theorie und charakteristische Klassen geben und, der Quelle [Gilkey] folgend, den Satz für beliebige elliptische Operatoren beweisen, sowie auf Grundlage der Originalarbeiten [Atiyah-Patodi-Singer], [Atiyah-Bott-Patodi] den entsprechenden Satz für Mannigfaltigkeiten mit Rand zeigen. Zuguterletzt stellen wir, falls die Zeit es erlaubt, auch eine jüngst erzielte Lorentzsche Version des Theorems [Bär-Strohmaier] vor und diskutieren kurz seine physikalische Interpretation in der Quantenfeldtheorie.
Voraussetzungen des Seminars, das vorrangig für fortgeschrittene Bachelorstudenten, aber auch für Masterstudenten gedacht ist, sind grundlegende Kenntnisse in Topologie, Funktionalanalysis und (in geringerem Maße) Differentialgeometrie. Letztere werden auch in Form eines Skripts zur Verfügung gestellt werden.
Auf Wunsch wird das Seminar ganz oder teilweise als Blockseminar im Februar 2020 angeboten. |
| Literatur |
[Atiyah-Bott-Patodi]: Michael Atiyah, Raoul Bott, Vijay Kumar Patodi: On the Heat Equation and the Index Theorem. Inv.Math. 19, 279-330 (1973)
[Atiyah-Patodi-Singer]: Michael Atiyah, Vijay Kumar Patodi, Israel Singer: Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 77, 43 (1975)
[Bär-Strohmaier]: Christian Bär, Alexander Strohmaier: An index theorem for Lorentzian manifolds with compact spacelike Cauchy boundary. arXiv:1506.00959
[doCarmo]: Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7
[Ebert]: Johannes Ebert: A Lecture Course on the Atiyah-Singer Index Theorem, https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/jeber_02/skripten/mainfile.pdf
[Gilkey]: Peter B. Gilkey: Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem. https://pages.uoregon.edu/gilkey/dirPDF/InvarianceTheory1Ed.pdf
[Lee]: John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8
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