| Kommentar |
Inhalt: Die Differentialtopologie ist das Studium von sogenannten
Mannigfaltigkeiten und glatten Abbildungen zwischen diesen.
Mannigfaltigkeiten sind topologische Räume, die lokal wie der
Euklidische Raum aussehen. Solche Räume treten in vielen verschiedenen
Bereichen natürlich auf, zum Beispiel als Riemannsche Flächen in der
Funktionentheorie, als Konfigurationsräume von Gelenken, als Lie-Gruppen
in der Algebra und der Geometrie, als Raum-Zeit in der
Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energiehyperflächen in der
klassischen Mechanik usw. In solchen Beispielen tragen
Mannigfaltigkeiten oft eine zusätzliche geometrische Struktur, wie zum
Beispiel eine Riemannsche Metrik, eine komplexe oder symplektische
Struktur. In der Differentialtopologie studiert man differenzierbare
Mannigfaltigkeiten an sich, ohne diese weiteren Strukturen zu
berücksichtigen.
In diesem Seminar wollen wir Milnors Meisterwerk "Topology from the
Differential Viewpoint" [M] folgen und zuerst die notwendigen Grundlagen
der Differentialtopologie erarbeiten und uns dann mit einigen
anschaulichen aber nicht trivialen Sätzen der Differentialtopologie
beschäftigen. Anders als sonst oft üblich benutzt Milnor keine
Kombinatorik oder Algebra um solche tiefen topologischen Resultate zu
beweisen, sondern bedient sich nur elementaren Techniken der Analysis
aus den Grundvorlesungen. Dabei spielt eine elegante
differentialtopologische Definition des Brouwerschen Abbildungsgrads
einer glatten Abbildung die Hauptrolle.
Mithilfe dieser Definition des Abbildungsgrads (oder ähnlichen
Techniken) werden wir zum Beispiel den Brouwerschen Fixpunktsatz
beweisen, der besagt, dass jede glatte Abbildung einer n-Scheibe auf
sich selbst mindestens einen Fixpunkt haben muss, und einen Satz von
Hopf diskutieren, nach dem zwei stetige Abbildungen einer
n-dimensionalen Mannigfaltigkeit in die n-Sphäre genau dann homotop
sind, wenn sie den gleichen Abbildungsgrad haben. Weiter werden wir
einen überraschenden Zusammenhang zwischen den Nullstellen eines
Vektorfeldes und der Eulercharakteristik herstellen.
Vorraussetzungen: Vorrausgesetzt werden etwas mengentheoretische
Topologie und elementare Analysis im Rahmen der Anfängervorlesungen.
Grundkentnisse in Topologie (z.B. im Umfang der Vorlesung Topologie I
von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester) sind hilfreich, aber
nicht zwingend erforderlich.
Zielgruppe: Die Zielgruppe dieses Seminars sind Studierende aus dem
Monobachelorstudiengang (ca. 5. Semester), die ihre Kentnisse aus der
Vorlesung Topologie I von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester
vertiefen möchten. Notwendig für die Teilnahme und das Verständnis
dieses Seminars sind aber nur die Anfängervorlesungen, weswegen auch
alle anderen Studierenden mit Intersse an Topologie willkommen sind.
Ergänzend zu diesem Seminar (aber unabhängig davon) bietet sich die
Vorlesung Topologie II von Prof. Chris Wendl an, in der unter anderem
der Abbildungsgrad auch aus homologischer Seite beleuchtet wird.
Sprache: Das Seminar kann auf Wunsch der Teilnehmer auch auf Englisch
angeboten werden.
Interessenten für dieses Seminar melden sich bitte bei mir per E-Mail
(kegelmarc87@gmail.com <mailto:kegelmarc87@gmail.com>).
Weitere Informationen sind auf
http://www.mi.uni-koeln.de/~mkegel/WS1819SeminarDiffTopo.html zu finden." |
