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Description:
The optimal transport problem was already formulated by Gaspard Monge in the 18 century. It deals with the relocation of an initial distribution of mass to a final distribution, such that the cost of transport is minimal. The formulation of this problem was generalized by Kantorovich in 1942. Besides the original applications in economy, new connections to problems in geometry, probability theory, and analysis emerged. In particular, in the recent decades a strong connection between partial differential equations, that describe diffusion processes, could be made. These diffusion problems can be formulated as gradient flows of the system's entropy and the so-called Wasserstein distance.
In this module, we introduce the problem of optimal transport, discuss basic results and applications: Monge- and Kantorovich formulation, existence of optimal transport plans, dual formulation, dynamical formulation, diffusion equations as Wasserstein gradient flows.
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Optimaler Transport und Wasserstein-Gradientenflüsse
Das Problem des optimalen Transports wurde bereits im 18. Jahrhundert von Gaspard Monge formuliert. Es geht darum, Material, das mit einer bestimmten Anfangsverteilung im Raum verteilt ist, in eine Zielverteilung zu überführen. Dies soll mit minimalen (totalen) Transportkosten erreicht werden. Die Problemstellung wurde von Kantorovich 1942 verallgemeinert. Neben den ursprünglichen Anwendungen in der Ökonomie sind inzwischen etliche neue Beziehungen zwischen dem Transportproblem und Problemen in der Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis bekannt. Insbesondere wurde in den vergangenen Jahren eine starke Verbindung zwischen optimalem Transport und partiellen Differentialgleichungen, die Diffusionsprozesse beschreiben, hergestellt. Letztere lassen sich als Gradientenflüsse der Entropie des Systems bezüglich der sogenannten Wasserstein-Transportmetrik formulieren.
In diesem Modul führen wir das Transportproblem ein und diskutieren einige grundlegende Resultate, und Anwendungen: Monge- und Kantorovich-Formulierung, Existenz optimaler Transportpläne, duale Formulierung, dynamische Formulierung, Diffusionsgleichungen als Wasserstein-Gradientenflüsse.
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